IL SUONO RAZIONALE

di Tiziano Rosselli

Matematica e musica: confutazione di alcuni luoghi comuni

4002407_01È frequente sentir dire che la matematica alla base dell’elet­trodinamica quantistica – che è basata su somma e prodotto di ampiezze di probabilità calcolate nel dominio dei numeri com­plessi – è facile da capire ma è difficile da vedere in concreto. Adattare immagini del mondo delle particelle a modelli mate­matici, o viceversa, è un gioco di sponda tra simmetrico e asim­metrico, tra continuo e discreto, tra simbolo/immaginazione e misura. Nella teoria quantistica di campo tutte le particelle co­nosciute sono viste come lo stato eccitato di un campo sotto­stante, associato al tipo di particella medesima: i fotoni sono lo stato eccitato dei campi del fotone, cioè del campo elettroma­gnetico; un elettrone è lo stato eccitato del campo dell’elettrone; e così via. Analogamente ciò che viene chiamato campo di Higgs è una sorta di oceano etereo il cui stato eccitato sarebbe la mate­ria. Senza l’oceano di Higgs tutte le particelle sarebbero, come il fotone, prive di massa. La massa, in altre parole, sareb­be la resistenza che il campo di Higgs impone alla variazione di velo­cità di una particella[1]. Creare modelli matematici che spie­ghino e misurino la teoria quantistica dei campi o derivare mo­delli co­smologici da modelli matematici, quali la funzione d’on­da o le matrici di Heisenberg, presuppone l’individuazione di analogie ovvero di simmetrie che mettono in gioco, per definir­ne una tra le più banali, l’oceano mare, i picchi d’onda e il cam­po eccitato. La non località, cioè il fatto che un campo si eccita secondo un disegno dettato dall’ampiezza della probabilità che prescinde del tutto dalla storia individuale di una particella (il suo percor­so e la sua eventuale posizione qui e ora) mette in gioco quel pensiero simmetrico nel senso di Matte Blanco, nel quale si an­nulla il prima e il dopo. Se un elemento, ad esempio una parti­cella, partecipa di una struttura diffusa qual è un campo di forze e variazioni in una particella condizionano una particel­la distan­te in modo istantaneo, allora mi faccio un’idea di que­sta cosa scomodando qualcosa che assomiglia al bagaglio di simbolismi recati solitamente dall’olismo panteista. Se penso che la tra­smissione di informazioni tra le particelle potrebbe av­venire a velocità superiori a quella della luce o prevedere forme spazio­temporali in cui la dimensione temporale è destrutturata rispetto alla comune idea di durata, successione e simultaneità, allora mi faccio un’idea di questa cosa scomodando i simboli­smi tipici di frantumazione del pensiero asimmetrico. Esempi in proposito sono le semiosi magiche, ermetiche, le derive seman­tiche, le esperienze psichedeliche, il misticismo olista e, final­mente, l’e­sperienza estetica. Ma qui è il punto: non è l’artista che scopre che anche la fisica in genere e certe forme di misura e modelli­zazione possono produrre suggestioni simboliche. Sono la fisica e la matematica stesse che affondano nel pensiero simmetrico (uso il termine, lo ripeto, nel senso definito da Mat­te-Blanco, cioè pensiero che sta fuori dalle categorie aristoteliche e dalla logica proposizionale) e nel simbolismo in genere. In questo senso arte e scienze quantitative recano una complementarità di prospetti­va: l’arte è una deriva simmetrica mentre le scienze quantitative sono un percorso di chiarificazione basato sul pensiero asimme­trico. In breve: nell’arte il processo è dal discreto al continuo mentre nelle scienze quantitative dal continuo al discreto, cioè dal fumo a una visione ben definita. In sé le due esperienze partecipano di pensiero simmetrico e asimmetrico e più che in­fluenzarsi l’una con l’altra si riconoscono per il fatto di recare immaginari analoghi. Detto questo va aggiunto che, per recipro­ca ignoranza delle rispettive esperienze, spesso l’una non capi­sce l’altra e viceversa. Succede così che siano trovati punti di contatto che in realtà punti di contatto non sono e si ignori che due esperienze complementari per prospettiva sono alimen­tate dalla medesima attività di produzione simbolica e dalla stessa alternanza di paesaggi simmetrici e asimmetrici.[2]

Un brano di Boulez o Xenakis, basato su modelli matematici tipici della meccanica statistica, per essere compreso non ha bi­sogno necessariamente di un’analisi strutturale. Le strutture che stanno dietro una descrizione matematica di un moto caotico e le strutture che stanno dietro i brani di Boulez e di Xenakis sono le stesse, ma, va aggiunto, non è così importante essere dei ma­tematici o dei fisici per capire la musica basata su di esse. L’i­dea o immagine del caotico fluire delle correnti delle rapide di un fiume che ha sollecitato l’esperienza della meccanica statisti­ca di Wiener, è tanto extramatematica quanto è extramusicale l’idea o immagine delle flosce ramificazioni delle alghe rosse sulla mia mano:

E’ stato al MIT che il mio interesse crescente per gli aspetti fisici della matematica ha preso forma definitivamente. Gli edifici dell’isti­tuto dominano il fiume Charles e si aprono su un orizzonte vario e di grande bellezza. I capricci delle acque del fiume erano sempre affa­scinanti da osservare. Inoltre avevano per me, matematico e fisico, un altro significato. […] Alle volte le onde scorrevano alte, punteg­giate da chiazze di schiuma, alle volte sembravano increspature appe­na evidenti. Qualche volta la lunghezza delle onde era da misurare in pollici, altre volte quelle onde potevano essere lunghe diverse iarde. Che tipo di linguaggio descrittivo avrei potuto usare per rappresentare ciò che sembrava evidente senza perdermi in una descrizione comple­ta della superficie dell’acqua? Questo problema delle onde era chiara­mente un problema di medie e statistica, per cui doveva essere stretta­mente correlato agli integrali di Lebesgue, che stavo allora studiando. Così mi accorsi che l’apparato matematico che era oggetto delle mie ricerche era adattabile alla descrizione della natura, e mi resi conto ancora di più che era proprio dentro la natura stessa che avrei dovuto cercare il linguaggio e i problemi della mia investigazione matemati­ca.[3]

Quello che farà poi il Wiener matematico (e matematico or­gogliosamente si definisce fin nel titolo della sua autobiografia), sarà di costruire un linguaggio formale matematico capace di misurare la probabilità di ogni traiettoria erratica, con questo fondando la fisica dei processi stocastici che è in grado di forni­re una descrizione formale di tutte quelle situazioni reali in cui interviene una «molteplicità di possibili successioni irregolari di eventi aleatori».[4] Ma se la matematica può descrivere che cosa succede alla corrente del fiume Charles davanti all’ufficio al MIT che fu di Wiener, questa descrizione ha carattere per così dire teleologico,[5] cioè esiste per determinare una qualche previsione sulla corrente del fiume Charles, cerca di capire com’è che procederà il sistema. Ma il fiume e le sue correnti non hanno niente di matematico: l’immagine da cui è partito Wiener e l’accostamento di un linguaggio matematico a un aspetto della natura hanno qualcosa a che vedere con l’ingenuo e il sentimentale di Schiller piuttosto che con le astrazioni formali della meccanica statistica e della fisica matematica in genere. Perciò il matematico può ispirare i propri formalismi a immagini della natura intorno a lui (perché pure la matematica si nutre di immaginazione) ma quando lo fa non ha un’esperienza matematica finché non comincia a delineare una tassonomia, a scomporre un problema per renderlo trattabile, a distinguere l’effetto dalla causa in cerca della regola che fa a sua volta diventare l’effetto una causa.[6]

Per Heinz von Förster esistono due modi di pensare, che egli definisce science e systemics, la science di­vide, separa, distingue, mentre la systemics va nella direzione opposta:

Chi la segue non divide e non separa, bensì tenta di collegare, di unire e di comparare. È un pensiero che riguarda i rapporti, la reci­procità, persino l’autoreciprocità, estremamente pericolosa dal punto di vista logico. Entrambe le vie, entrambi gli stili di pensiero, science e systemics, possono essere adoperati in maniera complementare. Un bravo scienziato, che capisce di differenziare, si chiederà sempre: […] cosa ho separato?[7]

Succede perciò che l’artista utilizzi la matematica o la fisica per comporre e il critico cerchi, tra le pieghe del linguaggio di chi computa e misura, le parole per dire. Hanno avuto un grande successo, nella critica d’arte, specie negli anni Sessanta e Set­tanta del Novecento, la teoria dell’informazione e la termodina­mica, ad esempio tutto quanto si riferisce agli esiti del secondo principio. Le parole che hanno molto circolato, e che tuttora cir­colano in campo estetico, sono informazione, comunicazione, struttura, entropia, omeostasi, degradazione. In molti hanno af­fermato che da una certa data in avanti non si può fare arte sen­za avere una certa familiarità con la matematica, la fisica, le scienze in genere. La linguistica, in particolare la semiotica, ha affrontato le diverse esperienze artistiche con atteggiamento scientifico, cioè con l’intenzione di confinare entro definizioni precise, misurandone il significato, le parole con le quali fare o parlare dell’arte. È diventato importante individuare le differen­ze tra significato e informazione, sapere quando si può parlare di codice, capire che tipo di ordine o di organizzazione presiede a una certa forma di comunicazione, quanta informazione c’è al­l’interno del discorso poetico. Tutto questo per dire, infine, del rapporto tra l’artista e il linguaggio, o meglio tra il tipo di ordi­ne dell’opera sedimentata e il linguaggio usato. Sfortunatamen­te parole come energia ed entropia nascono in fisica con uno scopo preciso: rappresentare quantità in un’operazione di astrazione. Il concreto dell’energia è il lavoro, mentre essa altro non è che l’indicazione della quantità di lavoro che un corpo o un sistema possono eseguire. L’entropia è la misura della quantità di microstati possibili all’interno di un sistema che, per ragioni statistiche, nell’aumentare, determinano uno stato termodinamico di equilibrio, cioè di assenza di trasformazioni. I numeri dell’energia e dell’entropia rappresentano entrambi capacità di determinare qualcosa e non qualcosa in se stessi. Benché i fisici individuino diverse forme di energia, ad esempio energia cinetica ed energia potenziale, lo fanno per descrivere il fatto che le forze intervenute nel sistema sono o meno conservative. Quando i fisici parlano di entropia, analogamente, intendono quantificare con precisione un certo stato allo scopo di prevederne gli esiti, sebbene attraverso l’interpretazione statistica. Con questo voglio ancora porre l’accento sulla profonda diversità tra l’esperienza scientifica e le altre esperienze umane. Nell’esperienza scientifica le parole sono iscritte dentro confini netti e invalicabili e compongono un segmento della costruzione quantitativa del mondo. Il processo va sempre in una sola direzione, dal fumoso al distinto, grazie alla tassonomia, all’analisi, al riduzionismo, alla definizione di una catena di causalità. Questo succede anche quando la descrizione scivola verso quei sistemi la cui evoluzione non può essere determinata. In questi casi la matematica applicata offre strumenti sempre più sofisticati allo scopo di quantificare per prevedere. Fuori dall’esperienza scientifica termini come energia ed entropia, che qui prendo come esempio, non hanno alcun senso. Non voglio dire che nella vita quotidiana non sentiamo il bisogno di prevedere ma che proprio perché è frequente il bisogno di prevedere l’uomo ha esperienze scientifiche, costruisce una segmentazione del mondo capace di mostrare di sé, in qualche modo, gli esiti nel tempo. D’altra parte è proprio dove ha termine il bisogno di misura e previsione che cominciano altri tipi di esperienze, nelle quali i termini energia ed entropia non possono continuare ad avere lo stesso significato che hanno all’interno dell’esperienza scientifica. Come detto: l’esperienza artistica è del tutto complementare all’esperienza scientifica, né migliore né peggiore, né antitetica, solo complementare. Nell’esperienza artistica l’entropia o l’energia possono essere solo immagini, metafore.

Quando la fisica ha cominciato a indagare i modi per model­lizzare meccaniche caotiche e quando i compositori hanno co­minciato a interessarsi alla fisicità del suono e alla sua organiz­zazione per mezzo di procedimenti mutuati dalla matematica, per un mero effetto ottico è sembrato che le due esperienze, quella scientifica e quella artistica, potessero avvicinarsi. In realtà la scienza ha ampliato gli orizzonti del conosciuto e ha segmentato in modo diverso la complessità dell’esperienza umana: nuove parole, nuovi confini, un reticolo diverso nel qua­le si è cristallizzato il continuum prelinguistico. Da lì è partita l’esperienza artistica, non è lì che è giunta. Semmai l’artista può mostrare la propria incapacità di comprendere l’entropia o l’e­nergia, non tanto per imbarazzo culturale verso la scienza o per insufficienza mentale, quanto per predisposizione spontanea alla tortura, alla catastrofe e al rifiuto delle strettoie delle defini­zioni.

La tendenza a raccontare per opposizioni è antica e inesauri­ta. Opporre scienza e arte non è cosa nuova ed è remoto il gior­no in cui l’uomo ha cominciato a opporre corpo e mente, mate­ria e spirito, divino e terreno. È interessante notare che in tutti questi casi di opposizione accade che l’uno e l’altro termine si abbraccino: l’uomo concepisce il divino e il divino si fa uomo, lo spirito si libera dalla materia e per mezzo della materia si mo­stra al mondo, la mente nasce dal corpo e oltre il corpo pro­duce concetti immateriali.

Nel concepire le prospettive per lo sviluppo della città mo­derna, alcuni urbanisti oppongono una concezione ingegneristi­ca e funzionale dell’espansione urbana a un’idea dello spazio, olistica, dominata dalla creatività e dalla ricerca artistica. L’idea di agopuntura urbana, scaturita dall’esperienza dell’istituto di ricerca e pianificazione urbana di Curitiba in Brasile, consiste in un approccio anti-intuitivo, per cui con un intervento piccolo e mirato in un luogo circoscritto si tende a infondere l’energia ne­cessaria per una cascata diffusa di conseguenze virtuose negli spazi circostanti.[8] Questo metodo è caratterizzato da una so­stanziale refrattarietà all’analisi e alla teorizzazione e può essere descritto come una sorta di razionalità creativa del buon senso in opposizione al razionalismo funzionale e pianificatorio tipico della burocrazia urbana contemporanea.

È probabile che opporre sia semplicemente un espediente narrativo o, forse più precisamente, un tentativo di trasmettere per iperbole un messaggio relativo a una particolare esperienza. Platone, nel dialogo sulla natura della virtù, il Menone, sostiene la non insegnabilità della virtù opponendo tra loro la scienza e il buon senso e attribuendo alla scienza la caratteristica di essere allo stesso tempo appresa e insegnata e di avere perciò maestri e discepoli. Ci sono attività per le quali è possibile insegnare un metodo e attività per le quali è possibile insegnare qualcosa di più che un metodo, ad esempio come definire obiettivi, stru­menti, procedure. La prevedibilità di un risultato e la sua deter­minazione in sede di pianificazione attraverso procedure analiti­che, determina la differenza fondamentale tra l’esperienza logico-ra­zionale e l’esperienza astratta. Il fatto che l’una e l’altra siano parte del lavoro del compositore e dello scienziato sorprende ma non deve illudere a proposito della possibilità di riunire le due esperienze. Forse, per dirla parafrasando Platone, è astratto solo ciò che non può essere insegnato e che perciò sfugge alla logica dell’analisi e della misurabilità, alla giurisdizione di quel tipo di linguaggio in cui ogni parola ha un confine invalicabile. E se per essere un grande scienziato è necessaria l’intuizione basata su un continuo processo di astrazione dalle regole defini­te, quella stessa intuizione va iscritta nel logos della scienza ap­presa, in un cammino costante dall’astratto al concreto. Esiste perciò una totale complementarità, non tanto tra la scienza e l’arte in senso generale, quanto tra l’esperienza scientifica e l’e­sperienza estetica, in altre parole tra ciò che è insegnabile e ciò che non lo è.

[1] Cfr. quanto scritto con il divulgativo ma autorevole Brian Greene, La trama del cosmo, trad. it di Adria Tissoni e Luigi Civalleri, Torino, Einaudi, 2004, pagg. 306-313.

[2] Ancora un’avvertenza: non intendo qui relativizzare l’esperienza scientifica in genere e in particolare quella “dura” fisico-matematica. Proprio la caratteristica fonda­mentale delle scienze moderne di condurre l’uomo, per la strada della razionalità, dal fumo al distinto, rende l’esperienza scientifica centrale e insostituibile dal punto di vista cognitivo. Di più: credo che la topologia non possa essere applicata all’interno dei lin­guaggi usati per penetrare dentro l’esperienza estetica in particolare, o in generale psi­chica, come ad esempio ha fatto Lacan usandola per rendere contro dell’esperienza psi­cotica.

[3] Norbert Wiener, I am a Mathematician, Cambridge, MIT Press, 1956, pag. 33. Trad. nostra.

[4] Marcello Cini, Un paradiso perduto. Dall’universo delle leggi naturali al mondo dei processi evolutivi, Milano, Feltrinelli, 1994, pag. 112.

[5] Secondo il cibernetico Heinz von Förster fu proprio Wiener, assieme a Rosenblü­th Bigelow, a reintrodurre nel 1943 il concetto di teleologia nella scienza. Cfr. Heinz von Förster, Bernhard Pörksen, La verità è l’invenzione di un bugiardo. Colloqui per scettici, trad. it. di Stefano Beretta, Roma, Meltemi, 2001, pag. 104 e seguenti.

[6] Cfr. Heinz von Förster, Op. cit., pag. 145.

[7] Ivi.

[8] Charles Landry, City making. L’arte di fare la città, trad. it. di Giuliana Olivero, Torino, Codice, 2009.

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